2006年6月5日下午，“时代超市”雇用的外地民工沈某在搬运货物时，不慎将顾客刘某的衣服碰脏，两人发生争吵。刘某用购买的衣架砸向沈某，引起群众围观，超市经理齐某欲将双方拉开，刘仍用拳击打沈面部，齐某遂电话报警。派出所民警到现场后，让沈某先去医院看病，第二天与刘某一起到派出所处理。6月6日，沈某与刘某到派出所，沈将县医院出具的诊断证明（软组织挫伤）、病历、医疗费单据等交给办案民警，民警称工作忙，改日再作处理。6月7日、8日、9日，沈某多次到派出所要求处理，民警都以工作忙为由推托。7月10日，民警通知双方到派出所调解。沈某不同意，民警称：“不同意调解也行，但医疗费恐怕你一分也拿不到，这事也无法处理。”沈某只好接受调解。调解中，刘某否认拳击沈面部，不同意赔偿沈的医疗费。经民警向齐某及围观群众调查，证实了刘某的违法行为，刘才同意赔偿沈某医疗费等费用共计1000元。沈某即与刘某签订了治安调解协议，但当场没有支付赔偿金。事后沈某多次找刘某追讨赔偿金，刘某以种种理由不履行协议。7月20日，沈某找办案民警要求对刘某进行处罚。民警以已调解，公安机关无法处理，建议沈某去法院起诉刘某。根据有关法律、法规、规章的规定，指出公安机关处理本案时存在哪些问题？