A公司为支付货款,向B公司签发了一张金额为200万元的银行承兑汇票,某商业银行作为承兑人在票面上签章。B公司收到该汇票后将其背书转让给C公司,以偿还所欠C公司的租金,但未在被背书人栏内记载C公司的名称。C公司欠D公司一笔应付账款,遂直接将D公司记载为B公司的被背书人,并将该汇票交给D公司。 D公司随后又将该汇票背书转让给E公司,用于偿付工程款,并于票据上注明:“工程验收合格则转让生效。” D公司与E公司因工程存在严重质量问题,未能验收合格而发生纠纷。纠纷期间,E公司为支付广告费,欲将该汇票背书转让给F公司。F公司负责人知悉D公司与E公司之间存在工程纠纷,对该汇票产生疑虑,遂要求E公司之关联企业G公司与F公司签订了一份保证合同。该保证合同约定,G公司就E公司对F公司承担的票据责任提供连带责任保证。但是,G公司未在汇票上记载任何内容,亦未签章。 F公司于汇票到期日向银行提示付款,银行以A公司未在该行存入足额资金为由拒绝付款。F公司遂向C公司、D公司、E公司、G公司追索。 要求: 根据上述内容,分别回答下列问题: C公司是否应向F公司承担票据责任?并说明理由。