2012年4月1日，王某与丁某签订了房屋买卖合同，双方约定：王某将其房屋出售给丁某，房价120万元。丁某支付房屋价款后，王某于2012年4月10日向丁某交付了房屋，但双方没有办理产权过户登记。 丁某对房屋进行了简单装修，于2012年4月20日将该房屋出租给叶某，租期为2年，双方签订了书面租赁合同，但未办理登记备案手续。 2012年6月1日，王某因病突然去世，全部遗产由其子小王继承，小王于2012年6月5日办理了产权过户登记，将该房屋产权过户到自己的名下。2012年6月10日，小王将该房屋作价130万元卖给杜某，双方于6月11日办理了产权过户登记。 2012年7月1日，杜某要求叶某返还该房屋，遭到叶某的拒绝。 要求： 根据上述内容，分别回答下列问题：
工某与丁某的房屋买卖合同是否已经生效？并说明理由。