2006年3月5日下午，孙某（女，22岁）在A省甲市一公园内搭识周某（男，35岁），让周到其租住地嫖宿，周当时未同意，临走时将手机号码留给孙某。当晚8时许，孙某打电话给周某，约其出去玩。周某让孙某到该市“明日大酒店”见面。因周是“明日大酒店”的常客，总台服务员朱某未进行住宿登记，直接将该酒店312房间的钥匙交给周某。周与孙在312房间嫖宿，付给孙200元钱，两人准备离开房间时被派出所民警查获。民警将两人传唤至派出所询问，并制作了询问笔录。经查，孙某，B省人，10天前刚到甲市；周某，C省人，2004年春节后到甲市从事贩卖水果生意，一直暂住在甲市中山小区18号。公安机关依法履行告知程序后，以“在公共场所拉客招嫖”和“卖淫”对孙某分别决定行政拘留5日、行政拘留10日，合并执行行政拘留15日；以“嫖娼”对周某决定警告并处罚款5000元。周某服从处罚，民警当场对其收缴了罚款。请根据相关法律、法规、规章的规定，指出公安机关在办理本案时存在哪些问题，并说明理由？（10分）