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可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题,针对于一般教材中只讨论了二阶的类型,可以扩展为三种类型为
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对于不符合标准类型的方程,考虑对微分方程进行适当变换后,使用换元法将一阶微分方程dy/dx=f(x,y)的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示,或者其中的变量用新的变量表达式替换,将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解
将求解y函数转换为求x函数然后再对比标准类型;如果符合,则使用相应的思路求解;否则,在此思路上,再考虑第二种思路,通过变量替换转换为标准类型求解.
y(n)=f(x)对于这样的n阶微分方程可以采取对右端逐步积分的方法,通过n次不定积分即得到包含有n个相互独立的任意常数的通解。
F(x,y(n-1),y(n))=0对于这样的n阶微分方程,可以令u(x)=y(n-2),从而得到二阶微分方程,即F(x,u’,u’’)=0.对于具有这类结构的微分方程,可以令u’=p(x),将其转换为一阶微分方程F(x,p,p’)=0求解该微分方程并结合已知条件得到p(x),代入u’=p(x),再一次求解该一阶微分方程,可得u(x),于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y(n-2)=u(x)即得最终的通解
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